Topologia

Papierowy model wstęgi Möbiusa

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni (poprzez zginanie i rozciąganie) bez jej rozerwania i "zlepienia" różnych punktów. Najłatwiej wyobrazić to sobie, przyjmując, że powierzchnię figury wykonano z cienkiej powłoki gumowej.

Początki

Siedem mostów w Królewcu

Przez Królewiec przepływa rzeka dzieląc miasto na dwie części, na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy, co pokazuje ilustracja obok. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz, oraz wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło. W postawionym problemie nieważne są odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów czy jakiekolwiek kąty. Zagadnienie mostów królewieckich rozwiązał w 1736 r. Leonhard Euler, który wykazał, że jest to niemożliwe.

Podobnie topologiczny charakter ma twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych, które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa, jednak wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością). Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez Henriego Poincaré na dowolne wielościany, a przez Solomona Lefschetza na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.

Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora. Twierdzenia te mają charakter kombinatoryczny, z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej topologii algebraicznej nazywano niegdyś topologią kombinatoryczną.

Nieco inny charakter ma klasyczne twierdzenie Weierstrassa analizy: każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma wymiar geometryczny, gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej - takich jak na przykład twierdzenie Pitagorasa: w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej, krzywej (takiej jak okrąg), płaszczyźnie. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.

Rys historyczny

Za twórcę topologii uważa się Bernharda Riemanna, który jako pierwszy prowadził badania stricte topologiczne, choć jak już wspomniano, pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.

Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej szkole matematycznej. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako geometria situs (łac. geometria położenia/miejsca) lub analysis situs (łac. analiza położenia/miejsca).

Termin topologia był po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847, a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki i pewnych matematyków zaczęto określać jako topologów.

Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są:

• W 1854 Riemann wygłasza na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna.
• W końcu XIX w. Georg Cantor zainteresowany podzbiorami prostej rzeczywistej pojawiającymi się w teorii szeregów Fouriera rozwinął podstawy teorii mnogości. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach. Wkrótce jego prace stały się podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej.
• W 1890 Giuseppe Peano podał przykład ciągłego odwzorowania z odcinka $[0,1]$ na kwadrat $[0,1]\times [0,1]$. Ten i inne przykłady krzywych Peano były bodźcem do rozwoju teorii wymiaru.
• W 1894 Henri Poincaré wprowadził pojęcie grupy podstawowej i pokazał, że 2-wymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie podstawowej, jest homeomorficzna z 2-wymiarową sferą. Następnie próbował, bez sukcesu, dowieść analogicznej hipotezy, zwanej hipotezą Poincarego, dla rozmaitości 3-wymiarowych. Udało się to dopiero Grigorijowi Perelmanowi.
• W 1895 Henri Poincaré opublikował pracę Analysis Situs, w której wprowadził pojęcia homotopii i liczb Bettiego, które Emma Noether zastąpiła grupami homologii, i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii ustalając podstawy topologii algebraicznej.
• W 1906 Maurice Fréchet w swojej rozprawie doktorskiej wprowadził pojęcie przestrzeni metrycznej (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona nadana tego typu przestrzeniom później przez Felixa Hausdorffa). Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie przestrzeni Frécheta).
• W 1914 r. Felix Hausdorff wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako przestrzenie Hausdorffa (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z wcześniejszych badań Hilberta, dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej).
• Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia, równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował Kazimierz Kuratowski. Początkowo jego definicja obejmowała przestrzenie T₁.

Podstawowe pojęcia

Zbiory otwarte

Korzenie topologii tkwią w geometrii i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki. Z drugiej strony, topologia ogólna wyrosła z analizy matematycznej. Zarówno w geometrii jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw. metryką) jest zwany przestrzenią metryczną.

Zauważono jednak, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowanych przy użyciu jedynie zbiorów otwartych bez potrzeby odwoływania się do pojęcia metryki. Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są sumami (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień). Często okazuje się, że poznanie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż badanie przestrzeni za pomocą metryki.

Przykład 

Zbiorem otwartym na płaszczyźnie jest np. wnętrze dowolnego wielokąta. Można je skonstruować jako sumę nieskończonej liczby wnętrz kół wypełniających wielokąt (coraz mniejszych przy jego brzegu).

Otoczenia

Przykład punktu brzegowego, do jego dowolnego otoczenia należą punkty ze zbioru, jak i punkty spoza niego

Otoczenia to zbiory spełniające następujące warunki:

• Dla każdego punktu istnieje jakieś jego otoczenie, a każde otoczenie zawiera pewien punkt.
• Jeśli punkt $X$ należy do otoczenia $U$ punktu $Y$, to istnieje takie otoczenie punktu $X$, które zawiera się w $U$ – intuicyjnie: skoro $X$ w pewnym sensie leży blisko $Y$, to istnieją punkty leżące w pobliżu zarówno $X$ jak i $Y$.
• Dla dowolnych dwóch otoczeń punktu $X$ istnieje otoczenie tego punktu, które się w nich zawiera.

Niektórzy autorzy do definicji dodają warunek, iż otoczenie musi być zbiorem otwartym.

Otoczenie punktu $X$ można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt $X$. Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów. Z drugiej strony otoczenia zostają zachowane przy homeomorficznych przekształceniach przestrzeni, co sprawia, że są w topologii użytecznym narzędziem.

Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór $V$, dla którego nie istnieją punkty brzegowe, czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru $V$ jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek obok).

Przestrzeń topologiczna

Jak już wspomniano, rodzinę zbiorów otwartych o rozsądnych własnościach (tzn. zarówno zbiór pusty jak i cała przestrzeń do tej rodziny należą, jeżeli należą do niej pewne zbiory, to należy do niej także ich dowolna, przeliczalna lub nieprzeliczalna suma oraz skończony iloczyn), nazywaną tak jak cała dziedzina – topologią – można wyodrębnić za pomocą metryki. O takich przestrzeniach mówi się, że są metryzowalne. Należą do nich dobrze znane przestrzenie euklidesowe (czyli prosta rzeczywista, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa itp.). Badane w topologii obiekty są uogólnieniami pojęć znanych z tychże przestrzeni.

Jak można się domyśleć istnieją również topologie niemetryzowalne (iloczyn kartezjański nieprzeliczalnej rodziny co najmniej dwupunktowych przestrzeni topologicznych z topologią Tichonowa), dlatego też podstawowy obiekt zainteresowań topologii, przestrzeń topologiczna, to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej.

Homeomorfizm

Najprostszy nietrywialny węzeł - koniczynka

Pewne wyobrażenie o tym, czym zajmuje się topologia przestrzeni euklidesowych, można sobie wyrobić, jeżeli przywoła się przed oczy obraz zbiorów wykonanych z gumy. Z punktu widzenia topologii interesujące jest np. to, że węzeł obok nie daje się bez rozcinania sprowadzić do euklidesowego okręgu, nie jest natomiast ważne, jakie ten węzeł ma rozmiary i krzywiznę "pętelek", co byłoby istotne w geometrii.

Formalnie dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeśli istnieje ciągła wzajemnie jednoznaczna funkcja z jednej z nich na drugą, a więc każdą z nich można przekształcić w drugą w sposób ciągły.

Gdy przestrzeń X daje się homeomorficznie odwzorować na przestrzeń Y, to przestrzenie X i Y mają takie same własności topologiczne i z punktu widzenia topologii są nieodróżnialne (homeomorficzne), mogą być traktowane jako różne egzemplarze tej samej przestrzeni. Przykładami własności topologicznych zachowywanych przez homeomorfizm są spójność ("składanie się z jednego kawałka") i wymiar (topologiczny) przestrzeni.

Kubek może być płynnie przekształcony na obwarzanek i odwrotnie

Przykład 

Topologa określa się żartobliwie jako matematyka, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka. Istotnie, animacja załączona obok pokazuje sposób deformacji kubka do postaci obwarzanka i odwrotnie. Co ważne, deformacja przebiega w sposób ciągły, czyli bez rozrywania i sklejania, co oznacza właśnie, iż kubek i obwarzanek są homeomorficzne, a więc z punktu widzenia topologii nieodróżnialne.

Nietrudno teraz podać inne przykłady przestrzeni, które dla topologa niczym się nie różnią. Kulka plasteliny jest tym samym, co ulepiona z niej żyrafa (o ile podczas jej lepienia nie rozerwiemy i nie skleimy ze sobą wygiętych i rozciągniętych kawałków), trójkąt jest tym samym co kwadrat (a nawet koło).

Gałęzie topologii

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, współczesne badania topologiczne są podzielone na trzy poddziały.

Topologia ogólna (54xx)

Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte). Typowe tematy rozważań w topologii ogólnej to np. aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne. Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina , PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC.

Topologia algebraiczna (55xx)

Z przestrzeniami topologicznymi wiąże się różne obiekty algebraiczne (przykładem może być tzw. grupa podstawowa). Ponieważ obiektom izomorficznym w sensie topologicznym (czyli homeomorficznym) przyporządkowuje się obiekty izomorficzne w sensie algebraicznym, to badając uzyskane struktury algebraiczne można poznać własności danych przestrzeni topologicznych.

Topologia rozmaitości (57xx)

Rozmaitości to przestrzenie topologiczne, które "lokalnie" wyglądają tak jak przestrzenie euklidesowe. Często wyposażone są one w strukturę różniczkową lub kawałkami liniową. Są to zwykle najbardziej "naturalne" przykłady przestrzeni topologicznych, włączając w to dobrze znane powierzchnie. Nierzadko do badania tych obiektów używa się metod topologii algebraicznej.

Poddziałami topologii rozmaitości są:

Topologia różniczkowa (57Rxx)

Topologia różniczkowa zakłada o rozmaitościach topologicznych, że mają również strukturę różniczkową. W dziale tym stosuje zatem zatem metody różniczkowe analizy matematycznej, w szczególności teorię Morse'a. Za początek topologii różniczkowej przyjmuje się odkrycie przez Johna Milnora niedyfeomorficznych struktur różniczkowych na 7-wymiarowej sferze.

Podstawowym narzędziem topologii różniczkowej jest między innymi twierdzenie Sarda, które mówi, że miara Lebesgue'a zbioru punktów krytycznych odwzorowania rzeczywistego, gładkiego podzbioru otwartego $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wynosi zero.

Teoria węzłów (57M25, 57M27, 57M30)

Szczególną gałęzią topologii rozmaitości jest teoria węzłów, która zajmuje się krzywymi zwykłymi zamkniętymi, zanurzonymi w przestrzeni trójwymiarowej. O ile w przestrzeniach dwuwymiarowych, a także cztero- i więcej wymiarowych każda taka krzywa daje się bez rozcinania przekształcić w okrąg, to w przestrzeni trójwymiarowej istnieje nieskończona liczba takich nierównoważnych krzywych, zwanych węzłami. Najprostszy z nich (oprócz trywialnego okręgu) to koniczynka, pokazana wyżej.

Teoria węzłów zajmuje się też położeniem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej skończonych układów krzywych zamkniętych badając przy tym sposób ich zaczepienia. Oprócz wspomnianych węzłów jednowymiarowych, rozwijana jest także teoria węzłów wielowymiarowych,

Poza wymienionymi wyżej trzema głównymi działami topologii wyróżnia się także:

Topologiczna teoria wymiaru

Teoria wymiaru topologicznego znajduje się na granicy topologii ogólnej i algebraicznej.

Kiedy Peano odkrył odwzorowanie ciągłe odcinka domkniętego na kwadrat, powstało niepokojące pytanie, czy topologia w ogóle jest w stanie rozróżnić wyżej wymiarowe przestrzenie euklidesowe, czy przypadkiem przestrzenie cztero- i pięciowymiarowe nie są homeomorficzne. Problem ten rozstrzygnął Brouwer, dowodząc niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze. Brouwer był jednym z głównych prekursorów topologicznej teorii wymiaru, stworzonej przez Urysohna i Mengera.

Teoria wymiaru przypisuje przestrzeniom topologicznym liczbę całkowitą ≥ -1. Istnieje więcej niż jedno pojęcie wymiaru, są to m.in. klasyczne funkcje dim, ind i Ind oraz pewne algebraicznie subtelne definicje. Jednak wszystkie te funkcje przypisują wymiar równy -1 tylko i wyłącznie przestrzeni pustej, z kolei wymiar zerowy mają wszystkie przestrzenie dyskretne, ale nie tylko one. Wszystkie trzy powyższe funkcje pokrywają się w zakresie przestrzeni polskich (czyli metrycznych, ośrodkowych).

Nawet w tym ograniczonym zakresie wymiar topologiczny różni się cechami od algebraicznego lub geometrycznego. W przypadku przestrzeni liniowych lub zbiorów i rozmaitości algebraicznych, podobnie jak w przypadku wielościanów, wymiar ma własność logarytmiczną: wymiar iloczynu kartezjańskiego jest równy sumie wymiarów czynników. Topologia, nawet przestrzeni polskich, zajmuje się znacznie bogatszą rodziną obiektów i prawo logarytmiczne w topologii nie zachodzi, co pokazuje piękny przykład pochodzący od Erdősa:

Przestrzeń wszystkich punktów klasycznej przestrzeni Hilberta o samych wymiernych współrzędnych, jest jednowymiarowa, a jej kwadrat jest homeomorficzny z nią samą. Zgodnie z prawem logarytmicznym druga przestrzeń powinna mieć wymiar 1+1, ale ma wymiar 1. Trudniej o takie przykłady w przypadku zwartych przestrzeni metrycznych. Ich wymiar dim musi wynosić co najmniej dwa. Przykład dwóch przestrzeni o wymiarze dwa, ale wymiarze ich iloczynu wynoszącym trzy podał Pontriagin, a Bołtiański skonstruował taką zwartą, dwuwymiarową przestrzeń metryczną, której kwadrat wynosi trzy. Prawo logarytmiczne jest jednym z szeregu problemów teorii wymiaru.

Topologiczna teoria wymiaru jest (w dużej mierze) zawarta w teorii funkcji uniwersalnych, :

Twierdzenie    dim(X) ≥ n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja uniwersalna  f : X → I ⁿ  (dla dowolnej przestrzeni całkowicie regularnej).

Teoria grafów (05Cxx)

Fotografia dywanu, ilustrującego twierdzenie o czterech barwach

Na pograniczu topologii oraz matematyki dyskretnej znajduje się ważna dziedzina, zwana teorią grafów. Najprostszy graf można sobie wyobrazić jako zbiór punktów (tzw. wierzchołków), z których niektóre połączone są liniami (tzw. krawędziami). Historycznie pierwsze zadanie topologii, dotyczące mostów królewieckich, zalicza się do tej dziedziny. Słynnym problemem teorii grafów, który bardzo długo opierał się udowodnieniu, było twierdzenie o czterech barwach, głoszące że dowolną mapę polityczną, gdzie każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru (zobacz rysunek).

Przykłady twierdzeń topologicznych i wniosków z nich płynących

• W Waszyngtonie, w miejscu upamiętniającym amerykańskich marynarzy z czasów II wojny światowej (the United States Navy Memorial) znajduje się mapa świata ułożona z materiałów tworzących chodnik na dużym placu (zobacz zdjęcia poniżej). Z wyjątkiem zniekształceń na obwodzie tej mapy, jest ona wierną reprezentacją powierzchni Ziemi w pewnej skali. Jednak wyłącznie na podstawie twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym nie możemy powiedzieć, że jest punkt na tej mapie, który odpowiada samemu sobie (tzn. ten punkt i jego reprezentacja na mapie znajdują się w tym samym miejscu). Bowiem cała (idealizowana) powierzchnia Ziemi nie jest odwzorowana na mapę w sposób ciągły. Możemy jednak ograniczyć się do powierzni kontynentalnej części USA (bez Alaski). Ponieważ cała mapa (chodnik) znajduje się w USA, to twierdzenie Banacha możemy zastosować wyłącznie do powierzchni USA: istnieje punkt powierzchni USA który na chodnikowej mapie jest reprezentowany przez samego siebie (t.j. reprezentujący go punkt mapy pokrywa się z nim). Chodzi o to, że o ile cała powierzchnia Ziemi na mapie jest rozcięta, to powierzchnia kontynentalnego USA przedstawiona jest w sposób ciągły (i zwężający). Gdy pojawiają się cięcia, to sprawa się komplikuje. (Uwaga: Z Alaską na mapach różnie bywa - czasem jest pocięta, a czasem nie; skoro jednak cała mapa znajduje się, na chodniku w części kontynentalnej USA, to o ewentualne pocięcie Alaski nie musimy się martwić).

• 

  US Navy Memorial w Waszyngtonie: mapa świata.

• 

  Fragment mapy świata przedstawiający Stany Zjednoczone.

• 

  W części mapy przedstawiającej Wschodnie Wybrzeże Stanów Zjednoczonych znajduje się dokładnie jeden punkt, który odpowiada samemu sobie w terenie.

• Na podstawie twierdzenia Borsuka-Ulama możemy stwierdzić, że w każdym momencie są na Ziemi dwa punkty antypodyczne, w których zarówno temperatura jak i wilgotność powietrza są takie same, przy założeniu, że temperatura i ciśnienie zmieniają się w sposób ciągły. Przypomnijmy, że twierdzenie Borsuka-Ulama mówi, że dla każdej ciągłej funkcji $f:S^{n-1} \to \mathbb R^{n-1}$ (gdzie $S^{n-1}\subseteq \mathbb R^n$ jest sferą $n-1$-wymiarową) istnieją dwa punkty antypodyczne $x,y\in S^{n-1}$ dla których $f(x)=f(y)\$.
• Twierdzenie Lusternika-Schirelmanna-Borsuka mówi, że jeśli sfera $\mathbb{S}^{n-1}$ jest pokryta przez $n$ zbiorów, z których każdy jest albo otwarty, albo domknięty, to jeden z tych zbiorów zawiera punkty antypodalne. (Wersja otwarta wynika w sposób elementarny z wersji domkniętej, i odwrotnie).

Znana jest anegdota, według której twierdzenie to uratowało pewien wyimaginowany świat przed wielkim nieszczęściem:

supermocarstwa Rosja, Prusy i Austria postanowiły zakończyć wszystkie waśnie i podzielić się strefami wpływów (oczywiście, oznaczałoby to, że mocarstwa te mogłoby wówczas spokojnie eksploatować narody im podległe). Każde z mocarstw chciało otrzymać część planety w "wieczyste władanie". Z powodów związanych z uzbrojeniem umieszczonym na satelitach, żadne z mocarstw nie chciało, aby inne mocarstwo miało pod swoją kontrolą jakiekolwiek dwa punkty antypodalne. Lata prób nie doprowadziły do rozwiązania problemu, a ogłoszenie twierdzenia spowodowało, że trzy supermocarstwa zadowoliły się podziałem Polski.

• Jeżeli spłaszczymy piłkę, to jakkolwiek byśmy jej przy tym nie deformowali (bez rozrywania), zawsze zetkną się jej dwa punkty antypodyczne. Jest to poglądowe sformułowanie powyższego twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach.

• Każdą kanapkę z masłem i żółtym serem można przeciąć nożem (czyli podzielić płaszczyzną) tak, by każda z dwóch części miała tyle samo chleba, masła i sera co druga.

Przykład argumentacji topologicznej w analizie

Metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, równania różniczkowe, aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.

Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej $\mathbb R$, która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Pierwszy, konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk Karl Weierstrass. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wiele trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji:

Niech $\mathcal C([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb R$. Wyposażmy $\mathcal C([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę

$d(f, g) = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|$.

Wówczas $\mathcal C([0,1])$ jest przestrzenią polską w której zbiór

$R=\big \{f\in {\mathcal C}([0,1]): f$ ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka $[0,1]\ \big\}$

jest pierwszej kategorii. Ponieważ przestrzeń $\mathcal C([0,1])$ jest zupełna (a więc jest przestrzenią Baire'a), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Interesującym jest fakt, że dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

Polscy topolodzy

Topologia jest jedną z tych dziedzin matematyki w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Warszawska szkoła matematyczna była w centrum rozwoju topologii, ale również matematycy związani z lwowską szkołą matematyczną uzyskiwali wyniki istotne dla tej dziedziny. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w Kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków wkład w rozwój topologii między innymi wnieśli:

• Stefan Banach
• Karol Borsuk
• Janusz Jerzy Charatonik
• Samuel Eilenberg
• Ryszard Engelking
• Witold Hurewicz
• Zygmunt Janiszewski
• Bronisław Knaster
• Krystyna Kuperberg
• Włodzimierz Kuperberg
• Kazimierz Kuratowski
• Andrzej Lelek
• Edward Marczewski
• Stefan Mazurkiewicz
• Jerzy Mioduszewski
• Jan Mycielski
• Hanna Patkowska
• Juliusz Paweł Schauder
• Karol Sieklucki
• Wacław Sierpiński
• Roman Sikorski
• Kazimierz Zarankiewicz

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• topologia algebraiczna
• aksjomaty oddzielania
• topologia sieci komputerowej

Bibliografia

Na polskim rynku wydawniczym istnieją podręczniki akademickie poświęcone topologii, m. in.:

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975
• Ryszard Engelking , Karol Sieklucki: Geometria i topologia. Część II. Topologia. Biblioteka Matematyczna. Tom 54. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1980. ISBN 83-01-01371-0