Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – w analizie funkcjonalnej przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $X$ oznacza się często $X^*$ lub $X'$. Parę $(X, X^*)$ nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn, transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana) / espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder, adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu.

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę, podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja

Niech $X\;$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K\;$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór $X^*\;$ wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

$\varphi \colon X \to K$

nazywa się przestrzenią sprzężoną do $X\;$.

Uwagi

• Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli $\varphi, \psi \in X^*$, zaś $a$ jest skalarem, to

  $(\varphi + \psi)(x) = \varphi(x) + \psi(x)\;$

  $(a\varphi)(x) = a\varphi(x)\;$

dla wszystkich $x \in X\;$.

• W przypadku, gdy nie zakłada się o $X$ nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń $X = L^p([0,1])$ dla $0<p<1$. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy'ego $H^p$ dla $0 < p < 1$.
• Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą $X^*$ z wypukłymi podzbiorami $X$.
  • Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami.
  • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli $X$ jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a $p$ półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu $x_0\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $\varphi$ na przestrzeni $X$, że $\varphi(x_0) = p(x_0)$ i

  $|\varphi(x)| \leqslant p(x)$ dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$.

• Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
• Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do $x, y \in X$ pisze się często $x^*, y^* \in X^*$. Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast $\varphi(x)$ bądź $x^*(x)$ pisze się po prostu $\varphi x$ lub $x^* x$. W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu $X$ oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni $X^*$ można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

$\|x^*\|=\sup\{|x^*x|\colon \|x\| \leqslant 1\}$.

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni $X^*$ często oznacza się tym samym symbolem, co normę w $X$. W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. $\|y\|_{X^*}$.

• Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń $X^*$ jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią $X$).
• Jeżeli $X^*$ jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje zbiór przeliczalny $A^*$, zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni $X^*$ taki, że

$\|x\|=\sup\{|x^*x|\colon\, x^*\in A^*\}$ dla $x\in X$.

• Jeżeli $X^*$ jest przestrzenią ośrodkową, to $X$ też nią jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni $L^1(\mathbb{R})$ jest przestrzeń $L^\infty(\mathbb{R})$, która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli $\sigma$ jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej $Y$, to symbolem $\sigma^w$ oznacza się słabą topologię w $Y$, to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z $Y^*$ są ciągłe.

W przestrzeni $Y^*$ można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

$\Phi_y \colon Y^*\to K,\; y\in Y$

postaci

$\Phi_y y^* = y^* y,\, y^*\in Y^*$

jest ciągłe. $Y^*$ z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni $X^*$ można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• mocną topologię $\tau^*$, czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^*$,
• słabą topologię $(\tau^*)^w$,
• *-słabą topologię $\tau^{w^*}$,

Zachodzi między nimi następujący związek:

$\tau^{w^*}\subseteq (\tau^*)^w \subseteq \tau^*$,

przy czym

$\tau^{w^*}= (\tau^*)^w$

wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy $X^*$ jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

• Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni $X^*$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory $X^*$ są ograniczone.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór $X^*$ jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni $X^*$ – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné.

Niech dla każdego $x^*\in X^*$ oraz dla każdego ciągu $(x_n)$ punktów przestrzeni $X$ zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

$B(x^*, (x_n))=\{y^*\in X^*\colon |(y^*-x^*)x_n|<1,\, n\in \mathbb{N}\}$.

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni $X^*$, którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń $X^*$ z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol $\tau^{bw^*}$ oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

$\tau^{w^*}\subseteq \tau^{bw^*} \subseteq \tau^*$.

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach $X^*$. Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli $(x^*_n)$ jest ograniczonym ciągiem punktów $X^*$, to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu $x_0^*$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do $x_0^*$.

Mimo, iż $X^*$ z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni $X$ z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

$\tau^{w^*}=\tau^{bw^*}$.

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

$\tau^{w^*}\neq\tau^{bw^*}$.

Twierdzenie Kreina-Šmuliana

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Kreina-Šmuliana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Kreina-Šmuliana) udowodnione w 1940 przez Marka Kreina i Witolda Lwowicza Šmuliana.

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz $B^*$ będzie kulą jednostkową w $X^*$. Jeśli $C$ jest wypukłym podzbiorem $X^*$, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t>0$ zbiór

$C\cap tB^*$

jest *-słabo domknięty.

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych $\alpha, \beta <\omega_1$ przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

$C[0,\omega^{\omega^\alpha}], C[0,\omega^{\omega^\beta}]$

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ₁. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha E o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ₁.

Istnieją także pary (E, F) przestrzeni Banacha, w których jedna jest jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum, których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

• $E=C[0,1],\,F=C[0,1]\oplus_\infty c_0(\mathbb{R})$,
• $E=JT,\, F=JT\oplus_2 \ell_2(\mathbb{R})$,

gdzie $JT$ oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R. C. Jamesa.

Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

• wszystkie przestrzenie Hilberta,
• przestrzeń funkcji ciągłych znikających w nieskończoności,
• przestrzenie ciągów ograniczonych i ciągów zbieżnych do zera,
• przestrzenie L^p,
• przestrzenie Sobolewa

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego $x^*\in H^*$ istnieje taki element $a\in H$, że

$x^*x=\langle x, a\rangle$ dla każdego $x\in H$.

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta $H$ jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z $H^*$. Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

$f\colon \Omega\to \mathbb{C}$,

gdzie $\Omega$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $C\subseteq \Omega$, że

$|f(x)|<\varepsilon$ dla $x\in \Omega\setminus C$.

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej $\Omega$, znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem $C_0(\Omega)$.

Gdy $\Omega$ jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu $C(\Omega)$ zamiast $C_0(\Omega)$.

Twierdzenie Riesza

Niech $\Omega$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego $x^*\in C_0(\Omega)^*$ istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska $\mu\colon \mathcal{B}(\Omega)\to \mathbb{C}$ taka, że

$x^*x=\int\limits_\Omega x(t)\mu(dt)$

dla każdego $x\in C_0(\Omega)$. Ponadto

$\|x^*\|=|\mu|(\Omega)$,

gdzie $|\mu|$ oznacza wahanie całkowite miary $\mu$. Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces.

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909 Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy $\Omega=[a,b]$ (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy $\Omega=[a,b]^n$ został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona.

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937, a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow i Shizuo Kakutani.

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c₀

Niech $c$ i $c_0$ oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie $c^*$ i $c_0^*$ są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią $\ell^1$, tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni $c_0$ i $c$.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

Jeśli $x^*\in c_0^*$, to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_n)\in \ell^1$ taki, że

$x^*y=\sum_{n=1}^\infty t_ns_n$

dla każdego $x=(t_n)\in c_0$. Z drugiej strony, odwzorowanie $x^*$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli $x^*\in c^*$, to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_0, s_1, s_2, \ldots )\in \ell^1$ taki, że

$x^*x=ts_0+\sum_{n=1}^\infty(t_n-t)s_n$,

dla każdego $x=(t_n)\in c$, gdzie $t$ jest granicą ciągu $(t_n)$. Na odwrót, $x^*$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

$c_0^*=c^*=\ell^1$.

Przestrzenie L^p

Niech $\mathcal{A}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru $\Omega$ oraz niech $\mu$ będzie miarą σ-skończoną określoną na $\mathcal{A}$. Ponadto, niech $p$ będzie ustaloną liczbą z przedziału $[1, \infty)$. Niech

$L^p=L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)$

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji $\mathcal{A}$-mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli $\Omega=\mathbb{N}, \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ oraz $\mu$ jest miarą liczącą, to

$L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)=\ell^p$,

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni $\ell^p$ szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza

Jeśli $x^*\in X^*$, to istnieje dokładnie jedna $\mathcal{A}$-mierzalna funkcja $y$ taka, że

$x^*x=\int\limits_\Omega x(t)y(t)\mu(dt)$

dla każdego $x\in L^p$. Przy czym, gdy

• $1<p<\infty$, to $y\in L^q$ oraz $\|x^*\|=\|y\|_{L^q}$, gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$,
• $p=1\,$, to $y\in L^\infty$ oraz $\|x^*\|=\|y\|_{L^\infty}$.

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do $L^p$ jest izometrycznie izomorficzna z $L^q$, gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ (przyjmując ewentualnie umowę, że $\tfrac{1}{\infty}=0$ – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

$(L^p)^*=L^q\,$.

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909 w przypadku, gdy $\Omega$ jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue'a oraz $1<p<\infty$. Przypadek dla $p=1$ udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli $x\in \ell^\infty$, tzn. $x$ jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej $B$. Wówczas ciąg $x$ można utożsamiać z funkcją

$x\colon \mathbb{N}\to B$.

Skoro $\mathbb{N}$ jest przestrzenią dyskretną, a $B$ przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to $x$ jest funkcją ciągłą. Jeżeli $\beta \mathbb{N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni $\mathbb{N}$, to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie $\beta x$ funkcji $x$ na $\beta \mathbb{N}$ (postać $\beta x$ nie zależy od wyboru kuli $B$). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni $\ell^\infty$ odpowiada pewien element przestrzeni $C(\beta \mathbb{N})$. Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej $\beta\mathbb{N}$ jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli $y\in C(\beta\mathbb{N})$, to również $y|_{\mathbb{N}}$ jest ograniczona, czyli

$y|_{\mathbb{N}}\in \ell^\infty$.

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

$\ell^\infty=C(\beta \mathbb{N})$

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń $(\ell^\infty)^*$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $\beta \mathbb{N}$.

W przypadku przestrzeni $L^\infty=L^\infty(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ można uogólnić powyższą metodę szukania opisu $(L^\infty)^*$ zastępując uzwarcenie Čecha-Stone'a przestrzeni $\Omega$ przestrzenią Stone'a $S$ algebry miary $\mu$, to znaczy przestrzeni Stone'a ilorazowej algebry Boole'a

$\mathcal{P}(\Omega)/\mathcal{N}_\mu$,

gdzie $\mathcal{N}_\mu$ jest ideałem podzbiorów $\mu$-miary zero zbioru $\Omega$. Wówczas $(L^\infty)^*$ można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $S$.

Przestrzenie Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\Omega)$ dla $1 \leqslant p < \infty$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\Omega$ o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $\Omega$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb{R}^k$ oraz $1\leqslant p< \infty$. Dodatkowo niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m$, tzn.

$N=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~1,$

oraz $L^p_N=L^p\times \ldots \times L^p$, czyli niech $L^p_N$ będzie produktem $N$ egzemplarzy przestrzeni $L^p$. Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(u_1, \ldots, u_N)\|=\left(\sum_{j=1}^N(\|u_j\|_{L^p})^p\right)^{\frac{1}{p}}$.

Przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega))^*$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią $Y$ dystrybucji $T$ na $\Omega$ takich, że

$T=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~(-1)^{|\alpha|}D^\alpha T_{v_\alpha}$,

dla pewnego $v=(v_\alpha)_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m} \in L_N^q$ i $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$. Ponadto,

$\|T\|_Y=\inf \|v\|_{L^q_N}$,

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L^q_N$, dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\Omega))^*$ dla $1 \leqslant p < \infty$. Mianowicie, przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega))^*$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni $L^q:=L^q_\sim$ wyposażonej w normę

$\|v\|_{L^q_\sim}=\sup\{\langle u,v\rangle\colon\, u\in W^{m,p}(\Omega),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega)} \leqslant 1\}$,

tzn.

$(W^{m,p}(\Omega))^*=\overline{L^q_\sim}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej

Ponieważ przestrzeń $X^*$ sama w sobie jest przestrzenią unormowaną (a więc przestrzenią liniowo-topologiczną, jeśli rozważać w niej inne naturalne topologie), to można rozważać przestrzeń do niej sprzężoną $(X^*)^*$, oznaczaną dalej symbolem $X^{**}\,$. Dodatkowo oznacza się

$\left(X^{(n)}\right)^*=X^{(n+1)}\,$,

gdzie liczby w nawiasie oznaczają liczbę gwiazdek. Własności przestrzeni $X^{**}$ mają szczególne znaczenie podczas badania przestrzeni unormowanych. Odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x\,$

nazywane jest kanonicznym zanurzeniem przestrzeni $X$ w przestrzeń $X^{**}$. W związku z tym, iż odwzorowanie $\kappa$ jest różnowartościowe, wygodnie jest czasem dokonywać utożsamienia $X$ z podprzestrzenią $\kappa(X)$ przestrzeni $X^{**}$. Klasyczne twierdzenie Goldstine'a mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie $\kappa$ jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w $X^{**}$ w tzw. $X^*$-topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni $X^{**}$. Przestrzenie unormowane takie, że

$\kappa(X)=X^{**}\,$

nazywane są przestrzeniami refleksywnymi (oczywiście, każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha jako przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią Banacha $X^{**}$). Przestrzenie refleksywne stanowią ważną klasę przestrzeni Banacha ze względu na ich dobre własności.

Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodyma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^*$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodyma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^*$ jest refleksywna jeśli:	$X^*$ ma własność Radona-Nikodyma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^*$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^*$ jest silnie gładka

gdzie przestrzeń $X$ nazywana jest

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X$, że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^*$ przestrzeni $X^*$, że $\|x^*\|=1$ oraz $x^*x=1$.
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^*$ takie jak w powyższej definicji jest jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^*$.

Literatura

1. Robert R. Adams: Sobolev Spaces. Acadamiec Press, 1975. ISBN 0120441500. 
2. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 9780387281414. 
3. Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151. 
4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5. 
5. Julian Musielak. Jak powstawała analiza funkcjonalna. „Wiadomości Matematyczne”. 43, 2007. Polskie Towarzystwo Matematyczne. Warszawa. ISSN 0373-8302 (pol.). [dostęp 11 lipca 2009].. 
6. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989. 
7. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6. 
8. Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6. 
9. Laurent Schwartz: Théorie des distributions. Hermann, 1950.