Efekt Dopplera

Źródło fal poruszające się w lewo. Długość fali jest mniejsza po lewej, a większa po prawej od źródła

Efekt Dopplera – zjawisko obserwowane dla fal, polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło fali oraz zarejestrowanej przez obserwatora, który porusza się względem źródła fali. Dla fal rozprzestrzeniających się w ośrodku, takich jak na przykład fale dźwiękowe, efekt zależy od prędkości obserwatora oraz źródła względem ośrodka, w którym te fale się rozchodzą. W przypadku fal propagujących się bez udziału ośrodka materialnego, jak na przykład światło w próżni (w ogólności fale elektromagnetyczne), znaczenie ma jedynie różnica prędkości źródła oraz obserwatora.

Wstęp

Rozchodzenie się fal dla efektu Dopplera

Christian Andreas Doppler jako pierwszy w 1842 r. w swojej publikacji opisał zaobserwowany efekt polegający na zmianie koloru światła pod wpływem ruchu w układzie gwiazd podwójnych. Naukowe badanie efektu po raz pierwszy przeprowadził Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot w 1845 r. Poprosił on grupę muzyków (trębaczy), aby wsiedli do pociągu i grali jeden ton. Słuchał go i zaobserwował, że dźwięk instrumentów staje się wyższy, gdy pociąg zbliża się do niego. Gdy źródło muzyki się oddala, jego ton staje się niższy. Zmiana wysokości dźwięku była dokładnie taka, jak obliczył uprzednio Doppler. Niezależnie od niego podobny efekt został w 1848 r. zaobserwowany przez Armanda Fizeau dla fal elektromagnetycznych.

Gdy źródło emituje falę cały czas z taką samą częstotliwością i nie porusza się, to odległość między kolejnymi grzbietami fali jest jednakowa we wszystkich kierunkach, natomiast kiedy źródło porusza się, to odległość między kolejnymi grzbietami jest zależna od kierunku rozchodzenia się fali. Z tego powodu nieruchomy obserwator może odbierać falę o innej częstotliwości niż nadawana, przy czym zmiana zależy od prędkości źródła oraz kąta między kierunkiem obserwacji, a kierunkiem ruchu źródła.

Zmiany częstotliwości wywołane efektem Dopplera są opisywane przez nieco inne zależności w przypadku fal mechanicznych (np. fal dźwiękowych), niż w przypadku fal elektromagnetycznych (np. światła, fal radiowych).

Efekt Dopplera dla fal mechanicznych

Rysunek 2: Wpływ ruchu źródła na powstającą falę
1 - fala gdy źródło nie porusza się
2 - fala gdy źródło porusza się
A - położenie źródła w momencie początkowym
B - obserwator

Gdy źródło fali wysyła kolejne drgania z taką samą częstotliwością i porusza się, odległość między kolejnymi grzbietami jest zależna od kierunku rozchodzenia się fali. Źródło przybliża się do zaburzeń które wysłało, w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu źródła, a oddala się od fali przemieszczającej się w kierunku przeciwnym. Tak więc w kierunku ruchu źródła kolejne grzbiety falowe są emitowane w mniejszej odległości niż gdyby źródło spoczywało. Nieruchomy obserwator odbiera to jako zmianę częstotliwości fali, ale odległości między nimi zależą od położenia obserwatora względem kierunku ruchu źródła.

Podobnie jeśli obserwator zbliża się do źródła to wprawdzie odległości między grzbietami i ich prędkość propagacji są takie same w każdym kierunku, ale obserwator spotyka grzbiety fal częściej, co powoduje wrażenie większej częstości fal.

Jeżeli źródło lub obserwator poruszają się w innym kierunku niż prosta łącząca je, efekt wywołują składowe prędkości źródła i obserwatora równoległe do prostej łączącej źródło z obserwatorem.

Fala mechaniczna emitowana przez ruchome źródło

Poruszające się źródło pomiędzy wysłaniem dwóch kolejnych grzbietów fali, czyli w czasie równym jednemu okresowi fali T, przebywa drogę:

$s = v_z T \;$

emitując kolejny grzbiet w miejscu przesuniętym względem miejsca emisji poprzedniego grzbietu o s i o tyle zmniejsza się długość fali dla obserwatora w kierunku, którego porusza się źródło.

$\lambda=\lambda_z - v_{z}T \,$

Co prowadzi to do wzoru na częstotliwość fali odbieranej:

$f_o = f_z \frac {v}{v - v_{z}}\;,$

gdzie:

• s – droga,
• T – okres fali generowanej przez źródło,
• λ – długość fali odbieranej przez obserwatora,
• λ_z – długość fali generowanej przez nieruchome źródło,
• v – prędkość fali,
• f_o – częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,
• f_z – częstotliwość fali generowanej przez źródło,
• v_z – składowa prędkości źródła względem obserwatora, równoległa do kierunku łączącego te dwa punkty.

Efekt Dopplera zapisuje się określając prędkość ruchu w odniesieniu do prędkości fali w ośrodku, przyjmując oznaczenie:

$\beta_x = \frac {v_x} {v}$

Fala mechaniczna - przemieszczający się obserwator

W przypadku spoczywającego źródła odległości między kolejnymi grzbietami fali są niezależne od kierunku, ale zmienia się częstość ich spotykania przez poruszającego się obserwatora. Jeśli obserwator zbliża się do źródła, to względna prędkość obserwatora i fali jest równa v_wz = v + v_o, wobec tego czas między obserwacjami kolejnych frontów jest równy:

$T = \frac{\lambda_z}{v + v_{o}}\;$

ostatecznie

$f_o = f_z\left(\frac{v + v_{o}}{v}\right)\;$

W powyższych wzorach prędkość obserwatora $v_{o}\;$ ma wartość dodatnią, gdy obserwator porusza się ku źródłu. Przy przeciwnym zwrocie ruchu prędkość ta ma wartość ujemną.

Uogólnienie

Z połączenia powyższych wzorów wynika, wzór opisujący zjawisko gdy zarówno źródło jak i obserwator poruszają się:

$f_o=f_z\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{z}} \approx f_z\frac{v \pm v_o \pm v_z}{v}$

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w których mają odwrotne zwroty.

Przybliżenie obowiązuje, gdy prędkość źródła jest znacznie mniejsza od prędkości fali w ośrodku. Wynika z niego, że zmiana częstotliwości jest proporcjonalna do prędkości obserwatora względem źródła.

Ogólny wzór uwzględniający kierunki ruchu źródła i obserwatora:

$f_o=f_z\frac{v + v_o \cos{\varphi_o}}{v - v_z\cos{\varphi_z}}$

Przy czym, wymienione kąty są zawarte między odcinkiem łączącym źródło z nadajnikiem, a wektorem prędkości źródła lub nadajnika.

Przesunięcie ku czerwieni linii spektralnych w zakresie światła widzialnego supergromady odległych galaktyk (po prawej) w porównaniu do Słońca (po lewej).

Efekt Dopplera dla światła

Światło (fala elektromagnetyczna) rozchodząc się w próżni porusza się z taką samą prędkością względem każdego obserwatora, a nie jak fala mechaniczna z prędkością określoną względem ośrodka w którym się rozchodzi. Efekt zmiany częstotliwości dla światła nazywany jest relatywistycznym efektem Dopplera. Jeżeli źródło i odbiornik fali poruszają się względem siebie, to występuje dylatacja czasu wynikająca ze szczególnej teorii względności. W wyniku tego jeżeli źródło i nadajnik poruszają się wzdłuż jednej prostej i oddalają się od siebie, to odbiornik rejestruje falę o częstotliwości:

$f_o = \gamma (1-\beta) f_z = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\,f_z$

gdzie:

• c - prędkość światła w próżni,
• $\beta = \frac v c$,
• $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$ - czynnik Lorentza.

Dla prędkości ruchu źródła względem obserwatora znacznie mniejszych od prędkości światła, powyższą zależność, gdy źródło oddala się od obserwatora, można opisać przybliżonymi zależnościami:

$f_o \approx f_z \frac{c - v }{c}\, \approx f_z \frac {c} {c + v}$

Co odpowiada zależnościom z nierelatywistycznego efektu Dopplera.

Poprzeczny efekt Dopplera

Relatywistyczny efekt Dopplera z uwzględnieniem różnych kierunków ruchu opisuje wzór:

$f_o = f_z \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta \cos{\alpha}}$

Gdzie α jest kątem między kierunkiem ruchu źródła a prostą łączącą źródło z odbiornikiem.

Gdy źródło porusza się prostopadle do prostej łączącej odbiornik ze źródłem (α= 90°) nie zmienia swej odległości od odbiornika, pomimo tego odbiornik odbiera falę o częstotliwości innej niż nadawana:

$f_o = f_z \sqrt{1 - \beta^2} \approx f_z (1 - \frac {\beta^2} {2})$

Zjawisko to nosi nazwę poprzecznego efektu Dopplera.

Zastosowania

Określanie prędkości ruchu

Efekt Dopplera jest wykorzystywany do określania prędkości przybliżania lub oddalania źródła fali. Prędkość źródła fali można określić na podstawie wzoru dla ruchomego źródła. Dla prędkości znacznie mniejszej od prędkości światła zarówno dla fal mechanicznych jak i dla światła wynosi ona:

$v_z = \frac v f {\Delta f} = a {\Delta f}$

gdzie:

• a - dla danego urządzenia stały współczynnik zależny od częstotliwości analizowanej fali i jej prędkości,
• Δf - różnica częstotliwości fal.

Zjawisko wykorzystuje się głównie do określania prędkości ruchu ciała odbijającego falę. Wówczas traktując to ciało jako element odbierający a następnie wysyłający falę, prędkość określa wzór:

$v_z = \frac v {2 f} {\Delta f} = a {\Delta f}$

W przypadku pomiaru ruchu substancji nieodbijającej fal stosuje się "zasiewanie" polegające na dodawaniu do substancji drobin odbijających fale. Urządzenia tego typu generują falę o dokładnie określonej częstotliwości i odbierają falę odbitą. W układzie odbiorczym dokonuje się zmieszania drgań fali wysyłanej i odbitej, wydzielając drgania o małej częstotliwości, których częstotliwość jest równa różnicy częstotliwości fali wysyłanej i odbieranej.

Radar dopplerowski

Obraz z radaru dopplerowskiego przedstawiający Huragan Katrina, kolor czerwony pokazuje ruch oddalający się od radaru, a zielony przybliżający się

Na efekcie Dopplera opiera się zasada działania radaru dopplerowskiego. Gdy fale radiowe odbijają się od ruchomego obiektu, ich częstotliwość postrzegana przez nieruchomego obserwatora jest zależna od prędkości ruchu.

Meteorologiczne radary dopplerowskie stosowane są w do wykrywania ruchu chmur i powietrza, dostarczając dane do obserwacji i prognozowania pogody. Dzięki takim pomiarom można wcześniej ostrzec ludność zagrożoną przez gwałtowne zjawiska atmosferyczne, takie jak burze, fronty atmosferyczne i tornada.

Diagnostyka medyczna

Pomiar prędkości krwi w tętnicy szyjnej wspólnej

W obrazowych badaniach diagnostycznych cenną informacją jest nie tylko kształt anatomicznych struktur, lecz także kierunek i prędkość poruszania się tkanek. Ruch takich płynów ustrojowych jak krew można obserwować mierząc zmiany częstotliwości oraz fazy fal dźwiękowych odbitych od płynącej cieczy.

Udoskonaleniem konwencjonalnych aparatów ultrasonograficznych było wprowadzenie ultrasonografii dopplerowskiej. Jeżeli głowica ultradźwiękowa potrafi rejestrować nie tylko opóźnienie echa wysyłanego dźwięku, lecz również jego częstotliwość, wtedy na obrazie diagnostycznym można umownymi kolorami zobrazować ruch organu lub płynu ustrojowego.

Przykładem może być echokardiografia. Dla kardiochirurgów bardzo ważne jest określenie nie tylko struktury anatomicznej serca, ale również prędkości i kierunku ruchu krwi przepływającej w tej biologicznej pompie. Obserwacja bijącego serca płodu umożliwia wykrycie wad rozwojowych jeszcze w łonie matki. Lekarze mając wiedzę o zagrożeniu mogą przygotować się na trudności po porodzie.

Efekt Dopplera wykorzystywany jest także w metodzie laserowo-dopplerowskiego pomiaru ukrwienia skóry, która pozwala na nieinwazyjny pomiar stopnia ukrwienia tkanek skóry właściwej przy diagnozowaniu takich schorzeń jak cukrzyca czy zespół Raynauda.

Astronomia

Rysunek 4: Zmiana barwy światła pochodzącego z oddalających się galaktyk

Efekt Dopplera zachodzący dla światła gwiazd i innych obiektów astronomicznych ma znaczące zastosowanie w spektroskopii astronomicznej. Światło gwiazdy charakteryzują linie widmowe, zależne od znajdujących się w nich atomów. Zmianę częstotliwości lub długości fali wykonuje poprzez porównanie położenia charakterystycznych linii widmowych gwiazdy z otrzymanym w na Ziemi. Jeżeli gwiazda oddala się (ucieka) od obserwatora, to wszystkie jej linie widmowe będą przesunięte w kierunku czerwieni (większych długości fali).

Gdy na początku XX w. astronomowie zaczęli badać widma innych galaktyk, okazało się, że większość z nich ma linie widmowe przesunięte ku czerwieni. Oznacza to, że obiekty te oddalają się od nas, jak na rysunku 4. Na dodatek, im dalej galaktyka się znajduje, tym szybciej oddala się od Ziemi, a jej światło jest bardziej przesunięte w kierunku większych długości fali (bardziej czerwone w paśmie widzialnym). Pomiary te doprowadziły do sformułowania prawa Hubble'a oraz teorii rozszerzającego się wszechświata.

Jeżeli gwiazda tworzy związany grawitacyjnie układ z innym obiektem, oba ciała obiegają wspólny środek masy. Na podstawie tych ruchów można wnioskować o ich względnych masach. Pomiary zmian przesunięcia linii widmowych niektórych gwiazd wykazały, że okrążają je planety. W ten sposób astronomowie odkryli setki dużych planet poza Układem Słonecznym.

Rysunek 3: Zmiana częstotliwości sygnału karetki wywołana efektem Dopplera
1. źródło dźwięku
2. ucho
3. składowa promieniowa
4. prędkość karetki

W życiu codziennym

Dźwięk jadącej sąsiednią ulicą miasta (nie wprost na obserwatora) karetki najpierw jest wysoki kiedy ta jest daleko, obniża się stopniowo w miarę jazdy karetki. Efekt ten powstaje na skutek zmiany składowej promieniowej prędkości karetki. Zgodnie z rysunkiem 3 nie cały wektor prędkości wnosi wkład do efektu Dopplera. Znaczenie ma tylko składowa promieniowa (przybliżanie/oddalanie się karetki). Zmienia się ona zależnie od kąta między kierunkiem jazdy karetki, a kierunkiem łączącym karetkę z obserwatorem.

Efekt ten powoduje, że wynik pomiaru radaru policyjnego dokonany pod kątem do kierunku jazdy samochodu jest mniejszy od rzeczywistej prędkości pojazdu. W takich sytuacjach różnicę tę odpowiednio się uwzględnia.

Efekt Dopplera wykorzystywany jest w przepływomierzach ultradźwiękowych.

Poszerzenie linii spektralnych

Efekt Dopplera jest jednym z czynników wywołujących poszerzenie linii spektralnych. Ponieważ cząsteczki, atomy lub jony tworzące emitujący lub absorbujący gaz poruszają się z różnymi prędkościami w różnych kierunkach, fale docierające do obserwatora mają nieznacznie przesunięte częstotliwości w stosunku do fal emitowanych przez nieruchome źródło. Rozkład prędkości cząstek gazu (w stanie równowagi termodynamicznej jest to rozkład Maxwella) zależy od temperatury, dlatego im wyższa temperatura ośrodka emitującego światło, tym większe jest poszerzenie linii widmowych.

Zobacz też

• Relatywistyczny efekt Dopplera

Bibliografia

• R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands, Feynmana Wykłady z Fizyki tom 1 część 2, PWN, 1974, str. 130-135, (ISBN 978-83-01-15008-2 -wyd 6)
• R.G.Gieworkian, W.W.Szpiel, Fizyka, PWN, 1982, str. 122-124, ISBN 83-01-03678-8
• R. Resnick, D. Halliday, Fizyka 1, PWN 1997, str. 511-522, ISBN 83-01-09322-6
• M.A. Herman, A. Kalestyński, L. Widomski, Podstawy fizyki. Dla kandydatów na wyższe uczelnie i studentów, PWN, Warszawa, 2009, str. 189-190, ISBN 978-83-01-14269-8