Algebra Boole'a

Diagram Hassego dla algebry Boole'a podzbiorów zbioru trójelementowego

Algebra Boole'a – struktura algebraiczna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska angielskiego matematyka, filozofa i logika George'a Boole'a. Teoria algebr Boole'a jest działem matematyki na styku teorii porządków częściowych, algebry, logiki matematycznej i topologii.

Typowymi przykładami algebr Boole'a są: rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru wraz działaniami na zbiorach jako operacjami algebry oraz dwuelementowa algebra wartości logicznych {0, 1} z działaniami koniunkcji, alternatywy i negacji.

Definicja

Algebra Boole'a to struktura algebraiczna ${\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$, w której $\cup$ i $\cap$ są działaniami dwuargumentowymi, $\sim$ jest operacją jednoargumentową, a 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru $B\;$, spełniająca następujące warunki dla wszystkich $a,b,c\in B$:

$a \cup (b \cup c) = (a \cup b) \cup c\$	$a \cap (b \cap c) = (a \cap b) \cap c\$	łączność
$a \cup b = b \cup a\$	$a \cap b = b \cap a\$	przemienność
$a \cup (a \cap b) = a\$	$a \cap (a \cup b) = a\$	absorpcja
$a \cup (b \cap c) = (a \cup b) \cap (a \cup c)$	$a \cap (b \cup c) = (a \cap b) \cup (a \cap c)$	rozdzielność
$a\; \cup \sim a = 1\$	$a\; \cap \sim a = 0\$	pochłanianie

Oznaczenia

Różne oznaczenia

Suma	Iloczyn	Negacja
$\cup$	$\cap$	$\sim$
$+$	$\cdot$	$\overline{a}$
$+$	$\cdot$	$-$
$\lor$	$\land$	$\lnot$

Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole'a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli $\cup,\cap,\sim$, ale w częstym użyciu są również $+,\cdot,-$ oraz $\lor,\land,\lnot$. Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par $(+,\cdot)$, $(\lor,\land)$ albo $(\cup,\cap)$. W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami $+,\cdot,\sim$ jak i $\lor,\land,{}^\prime$.

System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany np. w podręczniku Heleny Rasiowej.

W badaniach teoriomnogościowych aspektów algebr Boole'a przeważa tradycja używania oznaczeń $(+,\cdot,-)$. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii Handbook of Boolean Algebras.

Z kolei symbole $\wedge,\vee$ zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych).

Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce $\cap$, lub $a^\prime$ zamiast $\;\sim a$). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce $\cup$, $\cap$ oraz $\sim$.

Minimalna aksjomatyzacja

Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole'a nie jest minimalna, np. nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki a nie niezbędną dla niej definicją. 0 można zastąpić przez $\sim (x \cup (\sim x))$ a 1 przez $(x \cup (\sim x))$. Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie $\cap$ lub $\cup$. (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR)).

Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole'a. Przykładowy układ niezależnych aksjomatów to:

• $\cup\;$ jest przemienne,
• $\cup\;$ jest łączne,
• aksjomat Huntingtona: $\sim(\sim x \cup y)\; \cup \sim (\sim x\; \cup \sim y) = x$.

Inny taki układ to:

• $\cup\;$ jest przemienne
• $\cup\;$ jest łączne
• aksjomat Robbinsa: $\sim(\sim(x \cup y)\; \cup \sim(x\; \cup \sim y)) = x$

Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.

Przykłady

Najprostsza algebra Boole'a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

$\cdot$ 0 1 0 0 0 1 0 1

$+$ 0 1 0 0 1 1 1 1

a $\sim$ a 0 1 1 0

Algebra ta stanowi podstawę elektroniki cyfrowej.

Jeśli ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów zbioru $X$, to $({\mathcal F},\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X)$ jest algebrą Boole'a (gdzie ${}^\prime$ oznacza operację dopełnienia).

Niech ${\mathcal Z}$ będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Niech $\equiv$ będzie relacją dwuargumentową na zbiorze ${\mathcal Z}$ określoną jako:

$\varphi\equiv\psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy$\varphi\Leftrightarrow\psi$ jest tautologią rachunku zdań.

Można sprawdzić, że $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\mathcal Z}$. Na zbiorze $X$ wszystkich klas abstrakcji $[\varphi]$ relacji $\equiv$ można wprowadzić operacje $\cup,\cap,\sim$ przez następujące formuły:

$[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi]$,

$[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi]$,

$\sim[\varphi] := [\neg\varphi]$.

W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze $X$ (tzn. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a $(X,\cup,\cap,\sim,[p\wedge\neg p],[p\vee\neg p])$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech ${\bold Z}$ będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie $\tau$ i niech $T\subseteq {\bold Z}$ będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Relację dwuargumentową $\equiv$ na zbiorze ${\bold Z}$ można wprowadzić przez określenie

$\varphi\equiv\psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy$T\vdash\varphi\Leftrightarrow\psi$.

Wówczas $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\bold Z}$. Podobnie jak wcześniej:

$[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi]$,

$[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi]$,

$\sim[\varphi] := [\neg\varphi]$.

Można pokazać, że $({\bold Z}/\equiv,\cup,\cap,\sim,[\psi\wedge\neg \psi]_\equiv,[\psi\vee\neg \psi]_\equiv)$ jest algebrą Boole'a.

Własności

Niech ${\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a. Dla wszystkich $a,b\in B$ zachodzi:

$a \cup a = a\$

$a \cap a = a\$

$a \cup 0 = a\$

$a \cap 1 = a\$

$a \cup 1 = 1\$

$a \cap 0 = 0\$

$\sim 0 = 1\$

$\sim 1 = 0\$

prawa De Morgana:

$\sim (a \cup b) = (\sim a) \cap (\sim b)\$

$\sim (a \cap b) = (\sim a) \cup (\sim b)\$

podwójne przeczenie:

$\sim (\sim a) = a\$

Uporządkowanie

W zbiorze $B\;$ wprowadza się porządek boole'owski $\leqslant$:

$a\leqslant b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\cap b=a$

Tak zdefiniowana relacja $\leqslant$ jest częściowym porządkiem na zbiorze $B\;$. Zbiór $B\;$ z relacją ≤ jest kratą rozdzielną.

Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy

Niepusty zbiór $I\subseteq B$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

$\big(\forall a,b\in I\big)\big(a \cup b\in I\big)$, oraz

$\big(\forall a \in B, b\in I\big)\big((a\leqslant b)\ \Rightarrow\ (a\in I)\big)$.

Każdy ideał zawiera element $0\;$. Ideał, który nie zawiera elementu $1\;$, nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe $B\;$.

Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór $F\subseteq B$ jest filtrem w algebrze ${\mathbb B}$, jeśli:

$\big(\forall a,b\in F\big)\big(a\cap b\in F\big)$

oraz

$\big(\forall a\in F,b\in B\big)\big((a\leqslant b)\ \Rightarrow\ (b\in F)\big)$.

Każdy filtr zawiera element $1\;$. Filtr, który nie zawiera elementu $0\;$, nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe $B\;$.

Niech $I\subseteq B$ będzie właściwym ideałem w algebrze ${\mathbb B}$. Niech $\approx_I$ będzie relacją dwuczłonową na $B\;$ taką, że

$a\approx_I b$ wtedy i tylko wtedy gdy $(a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a)) \in I$.

Wówczas $\approx_I$ jest relacją równoważności na $B\;$. W zbiorze $B/\approx_I$ klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania $\vee,\wedge,\neg$:

$[a] \vee [b] := [a\cup b]$,

$[a] \wedge [b] := [a\cap b]$,

$\neg [a] := [\sim a]$.

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że $(B/_{\approx_I},\vee,\wedge,\neg,[0],[1])$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez ${\mathbb B}/I$.

Niech $\mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*0,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ będzie algebrą Boole'a i niech $h : B\to B^*$ będzie funkcją odwzorowującą $B\;$ w $B^*\;$. Mówimy, że funkcja $h$ jest homomorfizmem algebr Boole'a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich $a,b\in B$ zachodzą trzy równości:

$h(a\cup b)=h(a) \cup^*\; h(b)$,

$h(a\cap b)=h(a)\cap^* h(b)$,

$h(\sim a)\; = \sim^* h(a)$.

Jeśli dodatkowo $h\;$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną z $B\;$ na $B^*\;$, to funkcja $h\;$ zwana jest izomorfizmem algebr Boole'a.

Jeśli $I\;$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$, to odwzorowanie $a\mapsto [a]_{\approx_I}:{\mathbb B}\to {\mathbb B}/I$ jest homomorfizmem.

Jeśli $\mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ jest algebrą Boole'a oraz $h:B\to B^*$ jest homomorfizmem na $B^*\;$, to $h^{-1}(0^*)\;$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$ a algebra ilorazowa $\mathbb{B}/h^{-1}(0^*)$ jest izomorficzna z $\mathbb{B}^*$.

Autodualność

Niech ${\mathbb C}=(B,\cap,\cup,\sim,1,0)$ (operacje $\cup$ i $\cap$ zostały zamienione rolami, podobnie jak stałe 0 i 1). Wtedy także $\mathbb C$ jest algebrą Boole'a izomorficzną z wyjściową algebrą $\mathbb B$. Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B) i jest dany wzorem:

$d(x) :=\; \sim x$

dla dowolnego $x \in B$.

Algebry wolne

Algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest wolna, jeśli pewien zbiór $X\subseteq B$ ma następującą własność:

dla każdej algebry Boole'a $\mathbb{B}^* :=(B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ i każdego odwzorowania $f : X\to B^*$ istnieje dokładnie jeden homomorfizm $h : B\to B^*$ z algebry ${\mathbb B}$ w algebrę $\mathbb{B}^*$, przedłużający $f\;$ (czyli taki, że $h\upharpoonright X=f$).

Zbiór $X\subseteq B$ o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry ${\mathbb B}$. Jeśli moc zbioru $X\;$ jest $\kappa\;$, to mówimy, że ${\mathbb B}$ jest wolną algebrą Boole'a z $\kappa\;$ generatorami.

Skończona algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona $2^{2^n}\;$ elementów (dla $n=0,1,2,\ldots$). Algebra mocy $2^{2^n}\;$ jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z $2^n\;$ elementami i jako taka ma $n\;$ wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym: $(\forall b\in B\setminus\{0\})(\exists a\in B\setminus \{0\})(a\leqslant b\ \wedge\ a\neq b)$

Zupełne algebry Boole'a

Działania nieskończone

Ponieważ w algebrze Boole'a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru $A\subseteq B$ można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).

Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole'a są oznaczane przez $\cap,\cup$ (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru $A\;$ (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcup A$, a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcap A$. Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są $+,\cdot$, to kresy oznaczane są przez $\sum A$, $\prod A$.

Dla zbioru pustego:

$\bigcup \varnothing = 0$ oraz $\bigcap \varnothing = 1$.

Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:

$\sim\bigcup A = \bigcap\{\sim a:a\in A\}$ oraz $\sim\bigcap A = \bigcup\{\sim a:a\in A\}.$

Ponadto, jeśli $\varnothing\neq A\subseteq B$, to:

• $b=\bigcup A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\forall a\in A)(a\leqslant b)$ oraz

$\big(\forall c\leqslant b\big)\big(c\neq 0\Rightarrow (\exists a\in A)(a\cap c\neq 0)\big)$,

• $b=\bigcap A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\forall a\in A)(b\leqslant a)$ oraz

$\big(\forall c\neq 0\big)\big(c\cap b=0\Rightarrow (\exists a\in A)(c\cap (\sim a)\neq 0)\big)$.

Zupełność

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$:

• każdy podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny;
• każdy podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny.

Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole'owski $\leqslant$ jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Zupełne algebry Boole'a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.

Niech $\kappa\;$ będzie liczbą kardynalną, a ${\mathbb B}$ będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że algebra ${\mathbb B}$ jest $\kappa$-zupełna, jeśli każdy zbiór $A\subseteq B$ mocy mniejszej niż $\kappa\;$ ma kres górny (tzn. $\bigcup A$ istnieje ilekroć $0<|A|<\kappa\;$). Równoważnie: algebra ${\mathbb B}$ jest $\kappa\;$-zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór $A\subseteq B$, o mocy mniejszej niż $\kappa\;$, ma kres dolny (tzn $\bigcap A$). Algebry $\aleph_1$-zupełne są też nazywane algebrami $\sigma$-zupełnymi.

Jeśli ${\mathcal B}$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to $\sigma$-zupełna algebra Boole'a) oraz ${\mathcal K}$, jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in {\mathcal B}$, które są pierwszej kategorii, to ${\mathcal K}$ jest ideałem w algebrze ${\mathcal B}$ i algebra ilorazowa ${\mathcal B}/{\mathcal K}$ jest zupełna. Podobnie dla rodziny ${\mathcal L}$ wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

Zbiory niezależne

Podzbiór $X$ algebry Boole'a $\mathbb{B}$ nazywany jest niezależnym, gdy dla dowolnych zbiorów skończonych $\{x_1, \ldots, x_n\}, \{y_1,\ldots, y_m\}\subseteq X$

$x_1\cap x_2\cap \ldots\cap x_n\cap (\sim y_1)\cap (\sim y_2)\cap \ldots+(\sim y_m)=0$.

Do klasycznych twierdzeń dotyczących zbiorów niezależnych w algebrach Boole'a należą:

• twierdzenie Fichtenholza-Kantorowicza,
• twierdzenie Balcara-Franka.

Funkcje kardynalne

W badaniach i opisach algebr Boole'a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

• Celularność $c({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\mathbb B}$.
• Długość ${\rm length}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest łańcuchem $\big\}$

• Głębokość ${\rm depth}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem $\big\}$.

• Nieporównywalność ${\rm Inc}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ oraz $\big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a)\big)\big\}$.

• Pseudo-ciężar $\pi({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

$\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}$ oraz $\big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leqslant b\big)\big\}$.

Reprezentacja

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\mathbb B}$, tzw. przestrzeni Stone'a algebry ${\mathbb B}$. Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).

Każda skończona algebra Boole'a jest izomorficzna z całym zbiorem potęgowym $(P(X), \cup, \cap, {}^\prime, \varnothing, X)$ dla pewnego $X.\;$

Historia

Nazwa „algebra Boole'a” pochodzi od nazwiska George'a Boole'a (1815–1864), angielskiego matematyka-samouka. Wprowadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej w niewielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku. W późniejszej książce The Laws of Thought (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩. Dalszy rozwój algebra Boole'a zawdzięcza Williamowi Jevonsowi i Charlesowi Peirce'owi, których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku. W 1890 w Vorlesungen (Wykłady) Ernsta Schrödera pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole'a i krat rozdzielnych. Dokładniejsze badania algebr Boole'a podjął Alfred North Whitehead w wydanym w 1898 roku dziele Universal Algebra (Algebra ogólna). Algebra Boole'a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach Huntingtona. Garrett Birkhoff w Lattice Theory (1940) rozwinął teorię krat. W latach sześćdziesiątych Paul Cohen, Dana Scott i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody forsingu osadzonej w teorii algebr Boole'a.

Pierścienie Boole'a

Z pojęciem algebry Boole'a związane jest pojęcie pierścienia Boole'a. Pierścień Boole'a to pierścień przemienny z jedynką $(P,\oplus,\odot,0,1)$, w którym mnożenie spełnia warunek

$a\odot a=a$ dla każdego elementu $a\;$.

W pierścieniu Boole'a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość: $a \oplus a = 0$. Dowód:

$a \oplus a \oplus a \oplus a =(a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)=(a \oplus a) \odot (a \oplus a) = a \oplus a$

więc $a \oplus a = 0$.

Wynika stąd, że:

$a \odot (1 \oplus a) = 0$ oraz $a \oplus (1 \oplus a) = 1$.

Niech ${\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a. Jeżeli w zbiorze $B\;$ określi się operację różnicy symetrycznej $\oplus$ przez

$a \oplus b = (a\cap (\sim b))\cup(b\cap (\sim a)),$

to $(B,\oplus,\cap,0,1)$ będzie pierścieniem Boole'a; za mnożenie $\odot$ przyjmuje się $\cap$.

I na odwrot – niech $(B,\oplus,\odot,0,1)$ będzie pierścieniem Boole'a. Jeżeli zdefiniuje się operacje $\cup,\cap$ i $\sim$ na $B\;$ przez

$a\cup b=(a\oplus b)\oplus (a\odot b)$, $a\cap b=a\odot b$ i $\sim a=1\oplus a$,

to ${\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a spełniającą

$a \oplus b = (a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a)).$

Zobacz też

• funkcja boolowska
• ciało zbiorów
• twierdzenie Stone'a
• monadyczna algebra Boole'a

Bibliografia

• Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. Nowy Jork: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., 1997, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 0-471-06026-7. 
• Garrett Birkhoff, Thomas C. Bartee: Współczesna algebra stosowana. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, seria: Matematyka dla Politechnik. ISBN 8301045604. 
• Thomas Jech: Set theory. Berlin: Springer-Verlag, 1997. ISBN 3-540-63048-1. 
• Winfried Just, Martin Weese: Discovering modern set theory. T. 2: Set-theoretic tools for every mathematician. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0528-2. 
• Sabine Koppelberg: Handbook of Boolean algebras. J. Donald Monk i Robert Bonnet (red.). T. 1,2,3. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-70261-X. 
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, seria: Monografie Matematyczne 27. 
• J. Donald Monk: Cardinal invariants on Boolean algebras. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996. ISBN 3-7643-5402-X. 
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, seria: Biblioteka Matematyczna t. 30. 
• Roman Sikorski: Boolean Algebras (wydanie 3). Springer Verlag; Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebieterok. Neue Folge. Band 25, 1969 (wyd. 1 – 1960).